中考數(shù)學(xué)壓軸題 二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題(一).doc
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2012中考數(shù)學(xué)壓軸題選講（一） 1.如圖：拋物線經(jīng)過(guò)A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點(diǎn). （1） 求拋物線的解析式. （2）已知AD = AB（D在線段AC上），有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線段AC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)；同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從點(diǎn)B沿線段BC移動(dòng)，經(jīng)過(guò)t 秒的移動(dòng)，線段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情況下，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)M，使MQ+MC的值最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 （注：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為） 解：設(shè)拋物線的解析式為， 依題意得：c=4且 解得 所以 所求的拋物線的解析式為 （2）連接DQ，在Rt△AOB中， 所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD =7 – 5 = 2 因?yàn)锽D垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB 因?yàn)锳D=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA?！螩DQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB 即 所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ， 所以t的值是 （3）答對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)M，使MQ+MC的值最小 理由：因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱(chēng)軸為所以A（- 3，0），C（4，0）兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)連接AQ交直線于點(diǎn)M，則MQ+MC的值最小過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥x軸，于E，所以∠QED=∠BOA=90 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO 即 所以QE=，DE=，所以O(shè)E = OD + DE=2+=，所以Q（，） 設(shè)直線AQ的解析式為則 由此得 所以直線AQ的解析式為 聯(lián)立 由此得 所以M則：在對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)M，使MQ+MC的值最小。 2.如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)， A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）， OB＝OC ，tan∠ACO＝． （1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式． （2）經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)的直線，與x軸交于點(diǎn)E，在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． （3）如圖10，若點(diǎn)G（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△APG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△APG的最大面積. （1）由已知得：C（0，－3），A（－1，0） …1分 將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 解得： 所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為： （2）存在，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，－3） 理由：易得D（1，－4），所以直線CD的解析式為： ∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，0），由A、C、E、F四點(diǎn)的坐標(biāo)得：AE＝CF＝2，AE∥CF ∴以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，∴存在點(diǎn)F，坐標(biāo)為（2，－3） （3）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，易得G（2，－3），直線AG為． 設(shè)P（x，），則Q（x，－x－1），PQ． 當(dāng)時(shí)，△APG的面積最大，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，． 3.如圖，已知拋物線與x軸交于A（－1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）。 ⑴求拋物線的解析式； ⑵設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，在其對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由; ⑶若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，以B、C、D、M為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。 解析：⑴∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），∴設(shè)拋物線解析式為，根據(jù)題意，得，解得 ∴拋物線的解析式為 ⑵存在. 由得，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），對(duì)稱(chēng)軸為x＝1. ①若以CD為底邊，則PD＝PC，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，根據(jù)勾股定理， 得，即y＝4－x. 又P點(diǎn)(x,y)在拋物線上，∴，即 解得，，應(yīng)舍去.∴. ∴，即點(diǎn)P坐標(biāo)為. ②若以CD為一腰，因?yàn)辄c(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）。 ∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或（2，3）. ⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根據(jù)勾股定理, 得CB＝,CD＝,BD＝,，∴,∴∠BCD＝90, 設(shè)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E，過(guò)C作CM⊥DE，交拋物線于點(diǎn)M，垂足為F，在Rt△DCF中， ∵CF＝DF＝1, ∴∠CDF＝45, 由拋物線對(duì)稱(chēng)性可知，∠CDM＝245＝90,點(diǎn)坐標(biāo)M為（2，3）， ∴DM∥BC, ∴四邊形BCDM為直角梯形, 由∠BCD＝90及題意可知， 以BC為一底時(shí)，頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況; 以CD為一底或以BD為一底，且頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形均不存在。 綜上所述，符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，3）。 4.已知：拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長(zhǎng)（OB下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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