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2017年中考數(shù)學(xué)專題練習(xí)《特殊四邊形》 一．選擇題 1.如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE. AC，BE相交于點(diǎn)F，則∠BFC為( ) A．45 B．55 C．60 D．75 2．下列關(guān)于矩形的說法中正確的是（　　） A．對角線相等的四邊形是矩形 B．矩形的對角線相等且互相平分 C．對角線互相平分的四邊形是矩形 D．矩形的對角線互相垂直且平分 3.下列命題中，真命題是( ) A．對角線相等的四邊形是矩形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形 4．如圖，對折矩形紙片ABCD，使AB與DC重合得到折痕EF，將紙片展平；再一次折疊，使點(diǎn)D落到EF上點(diǎn)G處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)A，展平紙片后∠DAG的大小為（　?。? A．30 B．45 C．60 D．75 5．（2016四川瀘州）如圖，矩形ABCD的邊長AD=3，AB=2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在邊BC上，且BF=2FC，AF分別與DE、DB相交于點(diǎn)M，N，則MN的長為（　?。? A． B． C． D． 6．如圖，在矩形ABCD中（AD＞AB），點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，且DE=DA，AF⊥DE，垂足為點(diǎn)F，在下列結(jié)論中，不一定正確的是（　?。? A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF 二．填空題 7. （2016內(nèi)蒙古包頭）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，若∠EAC=2∠CAD，則∠BAE=　 　度． 8. 如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60，AB=2，點(diǎn)P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn)，若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則P、D（P、D兩點(diǎn)不重合）兩點(diǎn)間的最短距離為　 　． 9. 如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ． 10. 如圖，矩形ABCD中，AD=5，AB=7. 點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D落在∠ABC的角平分線上時(shí)，DE的長為 . 11. 如圖，正方形ABCD的邊長為a，在AB、BC、CD、DA邊上分別取點(diǎn)A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=a，在邊A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分別取點(diǎn)A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=A1B2，…．依次規(guī)律繼續(xù)下去，則正方形AnBnCnDn的面積為 ． 三．解答題 12.已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，AQ⊥BE于點(diǎn)Q，DP⊥AQ于點(diǎn)P． （1）求證：AP=BQ； （2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中四對線段，使每對中較長線段與較短線段長度的差等于PQ的長． 13．已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60，∠EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠EAF=60． （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是線段CB的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系； （2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是線段CB上任意一點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與B、C重合），求證：BE=CF； （3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長線上，且∠EAB=15時(shí)，求點(diǎn)F到BC的距離． 14．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BM于點(diǎn)D，E． （1）求證：MD=ME； （2）填空： ①若AB=6，當(dāng)AD=2DM時(shí)，DE=　??； ②連接OD，OE，當(dāng)∠A的度數(shù)為　　時(shí)，四邊形ODME是菱形． 15．（2016陜西）問題提出 （1）如圖①，已知△ABC，請畫出△ABC關(guān)于直線AC對稱的三角形． 問題探究 （2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在邊BC、CD上分別存在點(diǎn)G、H，使得四邊形EFGH的周長最小？若存在，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由． 問題解決 （3）如圖③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，現(xiàn)想從此板材中裁出一個(gè)面積盡可能大的四邊形EFGH部件，使∠EFG=90，EF=FG=米，∠EHG=45，經(jīng)研究，只有當(dāng)點(diǎn)E、F、G分別在邊AD、AB、BC上，且AF＜BF，并滿足點(diǎn)H在矩形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，才有可能裁出符合要求的部件，試問能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形EFGH部件？若能，求出裁得的四邊形EFGH部件的面積；若不能，請說明理由． 答案：1.C2.B3.C4.C5.B6.B7. 22.58. 2﹣2 9. （4，4）10. 或.11. 12. 解：（1）∵正方形ABCD ∴AD=BA，∠BAD=90，即∠BAQ+∠DAP=90 ∵DP⊥AQ ∴∠ADP+∠DAP=90 ∴∠BAQ=∠ADP ∵AQ⊥BE于點(diǎn)Q，DP⊥AQ于點(diǎn)P ∴∠AQB=∠DPA=90 ∴△AQB≌△DPA（AAS） ∴AP=BQ （2）①AQ﹣AP=PQ ②AQ﹣BQ=PQ ③DP﹣AP=PQ ④DP﹣BQ=PQ 13. （1）解：結(jié)論AE=EF=AF． 理由：如圖1中，連接AC， ∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60， ∴△ABC，△ADC是等邊三角形， ∴∠BAC=∠DAC=60 ∵BE=EC， ∴∠BAE=∠CAE=30，AE⊥BC， ∵∠EAF=60， ∴∠CAF=∠DAF=30， ∴AF⊥CD， ∴AE=AF（菱形的高相等）， ∴△AEF是等邊三角形， ∴AE=EF=AF． （2）證明：如圖2中，∵∠BAC=∠EAF=60， ∴∠BAE=∠CAE， 在△BAE和△CAF中， ， ∴△BAE≌△CAF， ∴BE=CF． （3）解：過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥EC于點(diǎn)H， ∵∠EAB=15，∠ABC=60， ∴∠AEB=45， 在RT△AGB中，∵∠ABC=60AB=4， ∴BG=2，AG=2， 在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45， ∴AG=GE=2， 14. （1）證明：∵∠ABC=90，AM=MC， ∴BM=AM=MC， ∴∠A=∠ABM， ∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠ADE+∠ABE=180， 又∠ADE+∠MDE=180， ∴∠MDE=∠MBA， 同理證明：∠MED=∠A， ∴∠MDE=∠MED， ∴MD=ME． （2）①由（1）可知，∠A=∠MDE， ∴DE∥AB， ∴=， ∵AD=2DM， ∴DM：MA=1：3， ∴DE=AB=6=2． 故答案為2． ②當(dāng)∠A=60時(shí)，四邊形ODME是菱形． 理由：連接OD、OE， ∵OA=OD，∠A=60， ∴△AOD是等邊三角形， ∴∠AOD=60， ∵DE∥AB， ∴∠ODE=∠AOD=60，∠MDE=∠MED=∠A=60， ∴△ODE，△DEM都是等邊三角形， ∴OD=OE=EM=DM， ∴四邊形OEMD是菱形． 故答案為60． 15. 解：（1）如圖1，△ADC即為所求； （2）存在，理由：作E關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E′， 作F關(guān)于BC的對稱點(diǎn)F′， 連接E′F′，交BC于G，交CD于H，連接FG，EH， 則F′G=FG，E′H=EH，則此時(shí)四邊形EFGH的周長最小， 由題意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90， ∴AF′=6，AE′=8， ∴E′F′=10，EF=2， ∴四邊形EFGH的周長的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2+10， ∴在邊BC、CD上分別存在點(diǎn)G、H， 使得四邊形EFGH的周長最小， 最小值為2+10； （3）能裁得， 理由：∵EF=FG=，∠A=∠B=90，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90， ∴∠1=∠2， 在△AEF與△BGF中，， ∴△AEF≌△BGF， ∴AF=BG，AE=BF，設(shè)AF=x，則AE=BF=3﹣x， ∴x2+（3﹣x）2=（）2，解得：x=1，x=2（不合題意，舍去）， ∴AF=BG=1，BF=AE=2， ∴DE=4，CG=5， 連接EG， 作△EFG關(guān)于EG的對稱△EOG， 則四邊形EFGO是正方形，∠EOG=90， 以O(shè)為圓心，以EG為半徑作⊙O， 則∠EHG=45的點(diǎn)在⊙O上， 連接FO，并延長交⊙O于H′，則H′在EG的垂直平分線上， 連接EH′GH′，則∠EH′G=45， 此時(shí)，四邊形EFGH′是要想裁得符合要求的面積最大的， ∴C在線段EG的垂直平分線設(shè)， ∴點(diǎn)F，O，H′，C在一條直線上， ∵EG=，