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北師大版數學八年級下冊1.3線段的垂直平分線課時練習 一、選擇題 1．如圖，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，邊AB的垂直平分線交AC于點D，則△BDC的周長是（　?。? A. 8 B. 9 C. 10 D.11 答案：C 解析：解：∵ED是AB的垂直平分線， ∴AD=BD， ∵△BDC的周長=DB+BC+CD， ∴△BDC的周長=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10． 故選C. 分析：由ED是AB的垂直平分線，可得AD=BD，又由△BDC的周長=DB+BC+CD，即可得△BDC的周長=AD+BC+CD=AC+BC. 2.如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點E，交BD于點F，連接CF．若∠A=60，∠ABD=24，則∠ACF的度數為（　?。? A. 48 B. 36 C. 30 D. 24 答案：A 解析：解：∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABD=24， ∵∠A=60， ∴∠ACB=180－60－242=72， ∵BC的中垂線交BC于點E， ∴BF=CF，∴∠FCB=24， ∴∠ACF=72－24=48， 故選：A. 分析：根據角平分線的性質可得∠DBC=∠ABD=24，然后再計算出∠ACB的度數，再根據線段垂直平分線的性質可得BF=CF，進而可得∠FCB=24，然后可算出∠ACF的度數. 3．如圖，在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分線交另一腰AC于點G，若已知AB=10，△GBC的周長為17，則底BC的長為（　　） A. 10 B. 9 C. 7 D. 5 答案：C 解析：解：如圖，∵在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分線交另一腰AC于點G， ∴AG=BG， ∵AB=10，△GBC的周長為17， ∴CG+BG+BC=CG+AG+BC=AC+BC=17，AC=AB=10， ∴BC=7． 故選C. 分析：首先根據題意在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分線交另一腰AC于點G，根據線段垂直平分線的性質，可得AG=BG，繼而可得△GBC的周長=AC+BC=17，則可求得答案. 4．如圖，AB=AC，∠A=40，AB的垂直平分線DE交AC于點E，垂足為D，則∠EBC的度數是（?。? A. 30 B. 40 C. 70 D. 80 答案：A 解析：解：∵AB的垂直平分線DE交AC于點E， ∴AE=BE， ∴∠ABE=∠A=40， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=70， ∴∠EBC=∠ABC－∠ABE=30． 故選A. 分析：由AB的垂直平分線DE交AC于點E，可得AE=BE，繼而求得∠ABE=∠A=40，然后由AB=AC，求得∠ABC的度數，繼而求得答案. 5．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，AC于D，E兩點，且AC=10，BC=4，則△BCE的周長為（　　） A. 6 B. 14 C. 18 D. 24 答案：B 解析：解：∵AC=10，BC=4， ∴AC+BC=10+4=14， ∵DE是線段AB的垂直平分線， ∴AE=BE， ∴△BCE的周長=（BE+CE）+BC=AC+BC=14． 故選B. 分析：先根據AC=10，BC=4，可得出AC+BC的長，再根據DE是線段AB的垂直平分線可得到AE=BE，進而可得出答案. 6．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=12，AB=13，AB邊的垂直平分線分別交AB、AC于N、M兩點，則△BCM的周長為（　?。? A. 18 B. 16 C. 17 D. 無法確定 答案：C 解析：解：在Rt△ABC中，∠C=90，AC=12，AB=13， 由勾股定理得，BC=5， ∵MN是AB的垂直平分線， ∴MB=MA， ∴△BCM的周長=BC+CM+MB=BC+CM+MA=BC+CA=17， 故選：C 分析：根據勾股定理求出BC的長，根據線段垂直平分線的性質得到MB=MA，根據三角形的周長的計算方法代入計算即可. 7．如果三角形三條邊的中垂線的交點在三角形的外部，那么，這個三角形是（　?。? A. 直角三角形 B. 銳角三角形 C. 鈍角三角形 D. 等邊三角形 答案：C 解析：解：如圖，O是邊AB和邊AC的垂直平分線的交點， 則AO=OB，AO=OC， 所以∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA， ∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=∠OBA+∠OCA， ∴∠BAC＞∠ABC+∠ACB， ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180， ∴∠BAC＞90， 即△ABC是鈍角三角形， 故選C 分析：先根據題意畫出圖形，再根據線段垂直平分線性質、等腰三角形的性質、三角形的內角和定理求出∠BAC＞90即可. 8. 已知MN是線段AB的垂直平分線，C，D是MN上任意兩點，則∠CAD和∠CBD之間的大小關系是（　?。? A．∠CAD＜∠CBD B．∠CAD=∠CBD C．∠CAD＞∠CBD D.無法確定 答案：B 解析： 解：∵MN是線段AB的垂直平分線，C，D是MN上任意兩點， ∴AC=BC，AD=BD， ∴∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA， 如圖1，∠CAD=∠CAB+∠DAB，∠CBD=∠CBA+∠DBA， ∴∠CAD=∠CBD； 如圖2，∠CAD=∠CAB－∠DAB，∠CBD=∠CBA－∠DBA， ∴∠CAD=∠CBD． 故選B. 分析：首先根據題意畫出圖形，然后由MN是線段AB的垂直平分線，C，D是MN上任意兩點，根據線段垂直平分線的性質可得：AC=BC，AD=BD，則可證得∠DAB=∠CBA， ∠DAB=∠DBA，繼而求得答案. 9. 已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AC于D，△ABC和△DBC的周長分別是60 cm和38 cm，則△ABC的腰和底邊長分別為（　?。? A．24 cm和12 cm B．16 cm和22 cm C．20 cm和16 cm D．22 cm和16 cm 答案：D 解析： 解：如圖，連接BD， ∵D在線段AB的垂直平分線上， ∴BD=AD， ∴BD+DC+BC=AC+BC=38 cm，且AB+AC+BC=60 cm， ∴AB=60 cm－38 cm =22 cm， ∴AC=22 cm， ∴BC=38 cm－AC=38 cm－22 cm =16 cm， 即等腰三角形的腰為22 cm，底為16 cm， 故選D. 分析：連接BD，根據線段垂直平分線的性質可得到BD=AD，可知兩三角形周長差為AB，結合條件可求得腰長，再由周長可求得BC，可得出答案. 10．如圖，地面上有三個洞口A、B、C，老鼠可以從任意一個洞口跑出，貓為能同時最省力地顧及到三個洞口（到A、B、C三個點的距離相等），盡快抓到老鼠，應該蹲守在（ ） A．△ABC三邊垂直平分線的交點 B．△ABC三條角平分線的交點 C．△ABC三條高所在直線的交點 D．△ABC三條中線的交點 答案：A 解析：解：∵三角形三邊垂直平分線的交點到三個頂點的距離相等， ∴貓應該蹲守在△ABC三邊垂直平分線的交點處． 故選A 分析：根據題意，知貓應該到三個洞口的距離相等，則此點就是三角形三邊垂直平分線的交點. 11. 三角形內有一點到三角形三頂點的距離相等，則這點一定是三角形的（　　） A．三條中線的交點 B．三邊垂直平分線的交點 C．三條高的交點 D．三條角平分線的交點 答案：B 解析：解：三角形內有一點到三角形三頂點的距離相等，則這點一定是三角形的三邊垂直平分線的交點， 故選：B. 分析：根據線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等可得答案. 12. △ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與直線AC相交所成銳角為40，則此等腰三角形的頂角為（　?。? A．50 B．60 C．150 D．50或130 答案：D 解析：解：（1）當AB的中垂線MN與AC相交時 易得∠A=90－40=50， （2）當AB的中垂線MN與CA的延長線相交時， 易得∠DAB=90－40=50， ∴∠A=130， 故選D. 分析：此題根據△ABC中∠A為銳角與鈍角分為兩種情況解答. 13. 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，直線DE是斜邊AB的垂直平分線交AC于D．若AC=8，BC=6，則△DBC的周長為（　　） A．12 B．14 C．16 D．無法計算 答案：B 解析：解：∵DE是AB的垂直平分線， ∴DA=DB， ∴△DBC的周長為CB+CD+DB=CB+CD+DA=BC+CA=6+8=14， 故選：B 分析：根據線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等得到DA=DB，根據三角形周長公式求出周長. 14. 如圖，在△ABC中，AB=A，AC=B，BC邊上的垂直平分線DE交BC、BA分別于點D、E，則△AEC的周長等于（　?。? A．A+B B．A－B C．2A+B D．A+2B 答案：A 解析：解：∵ED垂直且平分BC， ∴BE=CE． ∵AB=A，AC=B， ∴AB=AE+BE=AE+CE=A． ∴△AEC的周長為：AE+EC+AC=A+B． 故選A 分析：要求三角形的周長，知道AC=B，只要求得AE+EC即可，由DE是BC的垂直平分線，結合線段的垂直平分線的性質，知EC=BE，這樣三角形周長的一部分AE+EC=AE+BE=AB，代入數值，答案可得. 15. 如圖，有A、B、C三個居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修建一個購物超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應建在（　 ） A．在AC，BC兩邊高線的交點處 B．在AC，BC兩邊中線的交點處 C．在AC，BC兩邊垂直平分線的交點處 D．在∠A，∠B兩內角平分線的交點處 答案：C 解析：解：根據線段的垂直平分線的性質：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．則超市應建在AC，BC兩邊垂直平分線的交點處． 故選C. 分析：要求到三小區(qū)的距離相等，首先思考到A小區(qū)、B小區(qū)距離相等，根據線段垂直平分線定理的逆定理知滿足條件的點在線段AB的垂直平分線上，同理到B小區(qū)、C小區(qū)的距離相等的點在線段BC的垂直平分線上，于是到三個小區(qū)的距離相等的點應是其交點，答案可得. 二、填空題 16．△ABC中，AB=AC，∠BAC=120，AC的垂直平分線EF交AC于E，交BC于F．若FC=3 cm，則BF=_________． 答案：6 cm 解析： 解：連接AF． ∵AB=AC，∠BAC=120， ∴∠B=∠C=30； ∵AC的垂直平分線EF交AC于點E，交BC于點F， ∴CF=AF，∠FAC=30， ∴∠BAF=90， ∴BF=2AF（30直角邊等于斜邊的一半）， ∴BF=2CF=6 cm． 故答案是：6 cm 分析：利用輔助線，連接AF，求出CF=AF，∠BAF=90，再根據AB=AC，∠BAC= 120可求出∠B的度數，由直角三角形的性質即可求出BF=2AF=2CF=6 cm. 17. 如圖，ED為△ABC的AC邊的垂直平分線，且AB=5，△BCE的周長為8，則BC=________． 答案：3 解析：解：∵ED為AC上的垂直平分線， ∴AE=EC， ∵AB=AE+EB=5，△BCE的周長=AE+BE+BC=AB+BC=8， ∴BC=8－5=3． 故答案為：3 分析：根據ED為AC上的垂直平分線，得出AE=CE，再根據AB=5，△BCE的周長為AB+BC=8，即可求得BC. 18．如圖，已知在△ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足為E，DE交AC于D，若△BDC的周長為16，則BC=__________ ． 答案：6 解析：解：∵DE垂直平分AB， ∴AD=BD， ∴AD+CD=BD+CD，即AC=BD+CD， ∵AC=10，△BDC的周長為16， ∴BC=16－AC=16－10=6． 故答案為：6 分析：先根據DE垂直平分AB可知，AD=BD，即AC=BD+CD，再由AC=10，△BDC的周長為16即可求出答案. 19. 如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40，則∠DBC= 答案：15 解析：解：∵DE垂直平分AB， ∴AD=BD，∠AED=90， ∴∠A=∠ABD， ∵∠ADE=40， ∴∠A=90－40=50， ∴∠ABD=∠A=50， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=65， ∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=65－50=15， 故答案為：15 分析：根據線段垂直平分線求出AD=BD，推出∠A=∠ABD=50，根據三角形內角和定理和等腰三角形性質求出∠ABC，即可得出答案. 20. 點P在線段AB的垂直平分線上，PA=7，則PB= _________． 答案：7 解析：解：∵點P在線段AB的垂直平分線上，PA=7， ∴PB=PA=7， 故答案為：7 分析：根據線段垂直平分線的性質得出PA=PB，代入即可求出答案． 三、解答題 21. 某公園有海盜船、摩天輪、碰碰車三個娛樂項目，現(xiàn)要在公園內建一個售票中心，使 三個娛樂項目所處位置到售票中心的距離相等，請在圖中確定售票中心的位置． 答案：解：如圖，①連接AB，AC， ②分別作線段AB，AC的垂直平分線，兩垂直平分線相較于點P， 則P即為售票中心 解析：由三個娛樂項目所處位置到售票中心的距離相等，可得售票中心是海盜船、摩天輪、碰碰車三個娛樂場組成三角形的三邊的垂直平分線的交點. 22．如圖，在△ABC中，∠C=90，DE垂直平分AB，分別交AB，BC于D，E．若∠CAE=∠B+30，求∠AEB的度數 答案：140 解析：解：∵DE垂直平分AB， ∴AE=BE， ∴∠B=∠EAB. ∵∠C=90，∠CAE=∠B+30， ∴∠B+30+∠B+∠B=90， ∴∠B=20， ∴∠AEB=180－20－20=140. 分析：根據線段垂直平分線求出AE=BE，推出∠B=∠EAB，根據已知和三角形內角和定理得出∠B+30+∠B+∠B=90，求出∠B，即可得出答案. 23．如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線MN交AC于點D，交AB于點E． （1）求證：△ABD是等腰三角形； （2）若∠A=40，求∠DBC的度數； （3）若AE=6，△CBD的周長為20，求△ABC的周長 答案：（1）證明：∵AB的垂直平分線MN交AC于點D，∴DB=DA， ∴△ABD是等腰三角形. （2）30（3）32 解析：解：（1）證明：∵AB的垂直平分線MN交AC于點D， ∴DB=DA， ∴△ABD是等腰三角形； （2）∵△ABD是等腰三角形，∠A=40， ∴∠ABD=∠A=40，∠ABC=∠C=（180－40）2=70. ∴∠BDC=∠ABC－∠ABD=70－40=30. （3）∵AB的垂直平分線MN交AC于點D，AE=6， ∴AB=2AD=12. ∵△CBD的周長為20， ∴AC+BC=20， ∴△ABC的周長=AB+AC+BC=12+20=32． 分析：（1）根據線段的垂直平分線到線段兩端點的距離相等即可得證； （2）首先利用三角形內角和求得∠ABC的度數，然后減去∠ABD的度數即可得到答案； （3）將△ABC的周長轉化為AB+AC+BC的長即可求得. 24．如圖所示，在△ABC中，DE是邊AB的垂直平分線，交AB于E，交AC于D，連接BD． （1）若∠ABC=∠C，∠A=50，求∠DBC的度數． （2）若AB=AC，且△BCD的周長為18 cm，△ABC的周長為30 cm，求BE的長. 答案：（1）15；（2）6 cm 解析：解：（1）∵∠A=50， ∴∠ABC=∠C=65. 又∵DE垂直平分AB， ∴∠A=∠ABD=50， ∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=15． （2）∵DE是AB的垂直平分線， ∴AD=BD，AE=BE， ∴△BCD的周長=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=18 cm． ∵△ABC的周長=30 cm， ∴AB=30－18=12 cm， ∴BE=AE=6 cm． 分析：（1）已知∠A=50，易求∠ABC的度數．又因為DE垂直平分AB根據線段垂直平分線的性質易求出∠DBC的度數． （2）同樣利用線段垂直平分線的性質：垂直平分線上任意一點，和線段兩端點的距離相等可解． 25．已知：如圖，在△ABC中，MN是邊AB的中垂線，∠MAC=50，∠C=3∠B，求∠B的度數 答案：=26 解析：解：∵MN是邊AB的中垂線， ∴AM=BM， ∴∠BAM=∠B. 設∠B=x，則∠BAM=x， ∵∠C=3∠B，∴∠C=3x， 在△ABC中，由三角形內角和定理，得x+x+3x+50=180， ∴x=26， 即∠B=26 分析：根據線段垂直平分線性質得出AM=BM，推出∠BAM=∠B，設∠B=x，則∠BAM=x，∠C=3x，在△ABC中，由三角形內角和定理得出方程x+x+3x+50=180，求出即可