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2008女子數(shù)學奧林匹克 第一天 2008年8月15日 上午 8：00 ~ 12：00 廣東中山 數(shù)學競賽像其他競賽活動一樣，是青少年學生的一種智力競賽. 在類似的以基礎科學為競賽內容的智力競賽活動中，數(shù)學競賽的歷史最悠久，國際性強，影響也最大. ──王元 1．(a) 問能否將集合表示為它的32個三元子集的并集，且每個三元子集的元素之和都相等； (b) 問能否將集合表示為它的33個三元子集的并集，且每個三元子集的元素之和都相等． 2. 已知實系數(shù)多項式有三個正根，且．求證： . 3. 求最小常數(shù)，使得對正方形ABCD內部任一點P，都存在△PAB，△PBC，△PCD，△PDA中的某兩個三角形，其面積之比屬于區(qū)間． 4. 在凸四邊形ABCD的外部分別作正三角形ABQ，正三角形BCR，正三角形CDS，正三角形DAP，記四邊形ABCD的對角線之和為x，四邊形PQRS的對邊中點連線之和為y，求的最大值.  2008女子數(shù)學奧林匹克 第二天 2008年8月16日 上午 8：00 ~ 12：00 廣東中山 我國數(shù)學競賽活動表明，凡是開展好的地區(qū)和單位，都能大大激發(fā)學生的學習數(shù)學的興趣，有利于培養(yǎng)創(chuàng)造性思維，提高學生的學習效率．這項競賽活動，將健康的競爭機制引進數(shù)學教學過程中，有利于選拔人才．由數(shù)學競賽選拔的優(yōu)勝者，既有踏實廣泛的數(shù)學基礎，又有刻苦鉆研、科學的學習方法，其中的不少青年學生將來會成為出色的科學工作者． ──王 元 5. 已知凸四邊形ABCD滿足AB＝BC，AD＝DC．E是線段AB上一點，F(xiàn)是線段AD上一點，滿足B，E，F(xiàn)，D四點共圓．作△DPE順向相似于△ADC，作△BQF順向相似于△ABC．求證：A，P，Q三點共線． （注：兩個三角形順向相似是指它們的對應頂點同按順時針方向或同按逆時針方向排列．） 6. 設正數(shù)列 滿足 及 ． 求正實數(shù)，使得當時，有單調性；當時，不具有單調性． 7. 給定一個20082008的棋盤，棋盤上每個小方格的顏色均不相同．在棋盤的每一個小方格中填入C，G，M，O這4個字母中的一個，若棋盤中每一個22的小棋盤中都有C，G，M，O這4個字母，則稱這個棋盤為“和諧棋盤”．問有多少種不同的“和諧棋盤”？ 8. 對于正整數(shù)，令．求證：數(shù)列中有無窮多個奇數(shù)和無窮多個偶數(shù)．([x]表示不超過x的最大整數(shù))