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4.3 一般性的圓周運動問題 一、考點聚焦 10．勻速率圓周運動．線速度和角速度．周期．圓周運動的向心加速度 Ⅱ 二、知識掃描 1．變速圓周運動特點： （1）速度大小變化——有切向加速度、速度方向改變——有向心加速度． 故合加速度不一定指向圓心． （2）合外力不全部提供作為向心力，合外力不指向圓心． 2．遵守的動力學規(guī)律 （1）向心加速度：a=或a=ω2r （2）力和運動的關(guān)系： 3．處理圓周運動動力學問題般步驟 （1）確定研究對象，進行受力分析，畫出運動草圖 （2）標出已知量和需求的物理量 （3）建立坐標系，通常選取質(zhì)點所在位置為坐標原點，其中一條軸與半徑重合 （4）用牛頓第二定律和平衡條件建立方程求解． 4．實例：典型的非勻速圓周運動是豎直面內(nèi)的圓周運動 （1）如圖4-3-1和4-3-2所示，沒有物體支撐的小球，在豎直面內(nèi)作圓周運動通過最高點 ①臨界條件是繩子或軌道對小球沒有力的作用，在最高點v=．②小球能通過最高點的條件是在最高點v>．③小球不能通過最高點的條件是在最高點v<． 圖4-3-1 圖4-3-2 圖4-3-3 （2）如圖4-3-3所示，球過最高點時，輕質(zhì)桿對小球的彈力情況是①小球在最高點v=0時，是支持力．②小球在最高點0時，是拉力． 三、好題精析 例1．飛行員駕機在豎直平面內(nèi)作圓環(huán)特技飛行，若圓環(huán)半徑為1000m，飛行速度為100m/s，求飛行在最高點和最低點時飛行員對座椅的壓力是自身重量的多少倍．（g=10m/s2） [解析]如圖4-3-4所示，飛至最低點時飛行員受向下的重力mg和向上的支持力T1，合力是向心力即Fn1=T1-mg；在最高點時，飛行員受向下的重力和向下的壓力T2，合力產(chǎn)生向心力即Fn2=T2+mg．兩個向心力大小相等且Fn= Fn1=Fn2=mv2/r則此題有解： 圖4-3-4 因為向心力Fn= mv2/r 在最低點：T1-mg= mv2/r 則T1=mv2/r+mg 解得：T1/mg=v2/（rg）+1=2 在最高點：T2+mg= mv2/r 則T2=mv2/r-mg 解得：T2/mg=v2/（rg）-1=0 即飛機飛至最低點時，飛行員對座椅的壓力是自身重量的兩倍，飛至最高點時，飛行員對座椅無壓力． [點評]豎直面內(nèi)的非勻速圓周運動，在列動力學方程時，要按照牛頓第二定律列方程的步驟進行，受力分析是關(guān)鍵，列方程只要在法線方向上用牛頓第二定律．公式F=mV2/R是牛頓第二定律在圓周運動中的應(yīng)用，向心力就是做勻速圓周運動的物體所受的合外力的法向分力． C O B A 圖4-3-5 例2．如圖4-3-5所示，半徑為R，內(nèi)徑很小的光滑半圓管豎直放置，兩個質(zhì)量均為m的小球A、B以不同速率進入管內(nèi)，A通過最高點C時，對管壁上部的壓力為3mg，B通過最高點C時，對管壁下部的壓力為0．75mg．求A、B兩球落地點間的距離． [解析]兩個小球在最高點時，受重力和管壁的作用力，這兩個力的合力作為向心力，離開軌道后兩球均做平拋運動，A、B兩球落地點間的距離等于它們平拋運動的水平位移之差． 對A球：3mg+mg=m vA= 對B球：mg－0．75mg=m vB= sA=vAt=vA=4R sB=vBt=vB=R（2分）∴sA－sB=3R [點評]豎直面內(nèi)的非勻速圓周運動往往與其它知識點結(jié)合起來進行考查，本題是與平拋運動相結(jié)合，解這類題時一定要先分析出物體的運動模型，將它轉(zhuǎn)化成若干個比較熟悉的問題，一個一個問題求解，從而使難題轉(zhuǎn)化為基本題．本題中還要注意豎直面內(nèi)的非勻速圓周運動在最高點的兩個模型：輕桿模型和輕繩模型，它們的區(qū)別在于在最高點時提供的力有所不同，輕桿可提供拉力和支持力，而輕繩只能提供拉力；本題屬于輕桿模型． 圖4-3-6 O L 例3．一小球質(zhì)量為m，用長為L的懸繩（不可伸長，質(zhì)量不計）固定于O點，在O點正下方L/2處釘有一顆釘子，如圖4-3-6所示，將懸線沿水平方向拉直無初速釋放后，當懸線碰到釘子后的瞬間 A．小球線速度沒有變化 B．小球的角速度突然增大到原來的2倍 C．小球的向心加速度突然增大到原來的2倍 D．懸線對小球的拉力突然增大到原來的2倍 [解析]在小球通過最低點的瞬間，水平方向上不受外力作用，沿切線方向小球的加速度等于零，因而小球的線速度不會發(fā)生變化，故A正確；在線速度不變的情況下，小球的半徑突然減小到原來的一半，由v=ωr可知角速度增大為原來的2倍，故B正確；由a=v2/r，可知向心加速度突然增大到原來的2倍，故C正確；在最低點，F(xiàn)-mg=ma，可以看出D不正確． [點評]本題中要分析出懸線碰到釘子前后的瞬間物理量的變化情況，問題就很好解了，因而，要根據(jù)題目的條件分析物理過程后再選用公式，不能隨意照套公式． 圖4-3-7 m r O 例4．在質(zhì)量為M的電動機上，裝有質(zhì)量為ｍ的偏心輪，偏心輪轉(zhuǎn)動的角速度為ω，當偏心輪重心在轉(zhuǎn)軸正上方時，電動機對地面的壓力剛好為零；則偏心輪重心離轉(zhuǎn)軸的距離多大?在轉(zhuǎn)動過程中，電動機對地面的最大壓力多大? [解析]設(shè)偏心輪的重心距轉(zhuǎn)軸ｒ，偏心輪等效為用一長為ｒ的細桿固定質(zhì)量為ｍ(輪的質(zhì)量)的質(zhì)點，繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，如圖4-3-7，輪的重心在正上方時，電動機對地面的壓力剛好為零，則此時偏心輪對電動機向上的作用力大小等于電動機的重力，即： F=Mｇ ① 根據(jù)牛頓第三定律，此時軸對偏心輪的作用力向下，大小為F=Mｇ，其向心力為： F+mg=mω2r ② 由①②得偏心輪重心到轉(zhuǎn)軸的距離為： r=(M+m)g/(mω2) ③ 當偏心輪的重心轉(zhuǎn)到最低點時，電動機對地面的壓力最大． 對偏心輪有：F-mg=mω2r ④ 對電動機，設(shè)它所受支持力為FN，F(xiàn)N=F+Mg ⑤ 由③、④、⑤解得FN=2(M+m)g 由牛頓第三定律得，電動機對地面的最大壓力為2(M+m)g [點評]本題中電動機和偏心輪組成為一個系統(tǒng)，電動機對地面剛好無壓力，是偏心輪運動的結(jié)果，因而把它們隔離開來進行研究思路比較清晰；先以電動機為研究對象，再以偏心輪為研究對象，分別列方程，再利用牛頓第二定律把它們聯(lián)系起來即可求解；另外還要找出最高點和最低點這兩個臨界狀態(tài)． C A B 圖4-3-8 例5．在一根長為L的不計質(zhì)量的細桿中點和末端各連一質(zhì)量為m的小球B和C，如圖4-3-8所示，桿可以在豎直平面內(nèi)繞固定點A轉(zhuǎn)動，將桿拉到某位置放開，末端C球擺到最低位置時，桿BC受到的拉力剛好等于C球重的2倍．求：（g=10m/s2） （1）C球通過最低點時的線速度； （2）桿AB段此時受到的拉力． [解析]（1）C球通過最低點時，受力如圖且作圓周運動 F向=TBC-mg 即2mg-mg= 得c球通過最低點時的線速度為：vC= TAB C A B TBC=2mg mg mg 圖4-3-9 （2）以最低點B球為研究對象， 其受力如圖4-3-9所示，B球圓周運動的F向=TAB-mg-2mg 即TAB-3mg=，且vB=vC 得桿AB段此時受到的拉力為：TAB=3．5mg [點評]此題涉及到兩個物體，按常規(guī)要分別研究各個物體，分別列出方程，此時還不能求解，必須還要找到兩個物體聯(lián)系的量再列一個方程才能求解，因而，找到兩個物體物理量間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵；本題中兩球固定在一輕桿上，它們的角速度相同是個隱含條件． 四、變式遷移 1．一圓柱形飛船的橫截面半徑為r，使這飛船繞中心軸O自轉(zhuǎn)，從而給飛船內(nèi)的物體提供了“人工重力”，如圖4-3-10所示；若飛船繞中心軸O自轉(zhuǎn)的角速度為ω，那么“人工重力”中的“重力加速度g”的值與離開轉(zhuǎn)軸O的距離L的關(guān)系是（其中k為比例系數(shù)） （ ） 圖4-3-10 A． B． g = kL C． D． 2．在用高級瀝青鋪設(shè)的高速公路上，汽車的設(shè)計時速是108km/h．汽車在這種路面上行駛時，它的輪胎與地面的最大靜摩擦力等于車重的0.6倍．如果汽車在這種高速路的水平彎道上拐彎，假設(shè)彎道的路面是水平的，其彎道的最小半徑是多少？如果高速路上設(shè)計了圓弧拱橋做立交橋，要使汽車能夠安全通過圓弧拱橋，這個圓弧拱橋的半徑至少是多少？（取g=10m/s2） 五、能力突破 1．質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的圓形軌道內(nèi)側(cè)運動，若經(jīng)最高點不脫離轉(zhuǎn)道的臨界速度為 v，則當小球以2v速度經(jīng)過最高點時，小球?qū)壍赖膲毫Υ笮椋? ） A．0 B．mg C．3mg D．5mg B A C θ 圖4-3-11 2．如圖4-3-11所示，有一小球質(zhì)量為m，用輕繩AB和BC連接處于靜止狀態(tài)，AB沿水平方向，BC與豎直方向成角θ．則在剪斷AB后的瞬間（球未擺動），繩BC所受拉力與原來受的拉力的比等于（ ） A．cos2θ B．sin2θ C．1/cos2θ D．1/sin2θ 3．細桿可繞過一端的光滑水平軸自由轉(zhuǎn)動，桿的另一端系一個小球，使桿繞軸轉(zhuǎn)動，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動．小球到達最高點時，桿對球的作用力設(shè)為F1；小球到達最低點時，桿對球的作用力設(shè)為F2．關(guān)于細桿對小球的作用力F1和F2，可能是（ ） A．F1＝0 B．F2＝0 C．F1和F2的方向都向上 D．F1和F2的方向都向下 圖4-3-12 R 4．一質(zhì)量為m的物體，沿半徑為R的向下凹的圓形軌道滑行，如圖4-3-12所示，經(jīng)過最低點的速度為v，物體與軌道之間的動摩檫因數(shù)為μ，則它在最低點時受到的摩檫力為（ ） A．μmg B．μmv2/R C．μm(g+v2/R) D．μm(g-v2/R) 5．長為L的細桿一端拴一小球，可繞另一端在豎直面內(nèi)做圓周運動，小球在最高點的速度為v，下列說法正確的是（ ） A．v越大，球在最高點受到的合外力越大 B．v越大，球在最高點受到的向心力越大 C．v越大，球在最高點對桿的作用力越大 D．v至少要大小 圖4-3-13 6．如圖4-3-13所示，將完全相同的兩小球A，B用長L=0．8m的細繩，懸于以v=4m/s向左勻速運動的小車頂部，兩球的小車前后壁接觸．由于某種原因，小車突然停止，此時懸線中張力之比TA：TB為（g=10m/s2）（ ） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 7．一小球用輕繩懸掛在某固定點．現(xiàn)將輕繩水平拉直，然后由靜止開始釋放小球．考慮小球由靜止開始運動到最低位置的過程．( ) A．小球在水平方向的速度逐漸增大 B．小球在豎直方向的速度逐漸增大 C．到達最低位置時小球線速度最大 D．到達最低位置時繩中的拉力等于小球重力 8．如圖4-3-14所示， 在內(nèi)壁光滑的平底試管內(nèi)放一個質(zhì)量為1g的小球， 試管的開口端加蓋與水平軸O連接． 試管底與O相距5cm， 試管在轉(zhuǎn)軸帶動下沿豎直平面做勻速圓周運動． 求： (1) 轉(zhuǎn)軸的角速度達到多大時， 試管底所受壓力的最大值等于最小值的3倍． (2) 轉(zhuǎn)軸的角速度滿足什么條件時，會出現(xiàn)小球與試管底脫離接觸的情況? g取10m/s2． 圖4-3-14 圖4-3-15 9．如圖4-3-15所示，一根跨越一固定的水平光滑細桿的輕繩，兩端各系一個小球．球a置于地面，球b被拉到與細桿同一水平的位置．在繩剛拉直時放手，使球b從靜止狀態(tài)向下擺動．當擺到Ob段輕繩與豎直方向的夾角為600時，球a剛要離地，求球a質(zhì)量與球b質(zhì)量之比．(已知圖中Ob段的長度小于Oa段的長度) 10．如圖4-3-16所示，在傾角為α=300的光滑斜面上，有一根長為L=0.8m的細繩，一端固定在O點，另一端系一質(zhì)量為m=0.2kg的小球，沿斜面作圓周運動，試計算： （1）小球通過最高點A的最小速度． （2）若細繩的抗拉力為Fmax=10N，小球在最低點B的最大速度是多少？ A L O B α 圖4-3-16