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4.3 一般性的圓周運(yùn)動(dòng)問題 一、考點(diǎn)聚焦 10．勻速率圓周運(yùn)動(dòng)．線速度和角速度．周期．圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度 Ⅱ 二、知識掃描 1．變速圓周運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)： （1）速度大小變化——有切向加速度、速度方向改變——有向心加速度． 故合加速度不一定指向圓心． （2）合外力不全部提供作為向心力，合外力不指向圓心． 2．遵守的動(dòng)力學(xué)規(guī)律 （1）向心加速度：a=或a=ω2r （2）力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系： 3．處理圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問題般步驟 （1）確定研究對象，進(jìn)行受力分析，畫出運(yùn)動(dòng)草圖 （2）標(biāo)出已知量和需求的物理量 （3）建立坐標(biāo)系，通常選取質(zhì)點(diǎn)所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一條軸與半徑重合 （4）用牛頓第二定律和平衡條件建立方程求解． 4．實(shí)例：典型的非勻速圓周運(yùn)動(dòng)是豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng) （1）如圖4-3-1和4-3-2所示，沒有物體支撐的小球，在豎直面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)通過最高點(diǎn) ①臨界條件是繩子或軌道對小球沒有力的作用，在最高點(diǎn)v=．②小球能通過最高點(diǎn)的條件是在最高點(diǎn)v>．③小球不能通過最高點(diǎn)的條件是在最高點(diǎn)v<． 圖4-3-1 圖4-3-2 圖4-3-3 （2）如圖4-3-3所示，球過最高點(diǎn)時(shí)，輕質(zhì)桿對小球的彈力情況是①小球在最高點(diǎn)v=0時(shí)，是支持力．②小球在最高點(diǎn)0時(shí)，是拉力． 三、好題精析 例1．飛行員駕機(jī)在豎直平面內(nèi)作圓環(huán)特技飛行，若圓環(huán)半徑為1000m，飛行速度為100m/s，求飛行在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)飛行員對座椅的壓力是自身重量的多少倍．（g=10m/s2） [解析]如圖4-3-4所示，飛至最低點(diǎn)時(shí)飛行員受向下的重力mg和向上的支持力T1，合力是向心力即Fn1=T1-mg；在最高點(diǎn)時(shí)，飛行員受向下的重力和向下的壓力T2，合力產(chǎn)生向心力即Fn2=T2+mg．兩個(gè)向心力大小相等且Fn= Fn1=Fn2=mv2/r則此題有解： 圖4-3-4 因?yàn)橄蛐牧n= mv2/r 在最低點(diǎn)：T1-mg= mv2/r 則T1=mv2/r+mg 解得：T1/mg=v2/（rg）+1=2 在最高點(diǎn)：T2+mg= mv2/r 則T2=mv2/r-mg 解得：T2/mg=v2/（rg）-1=0 即飛機(jī)飛至最低點(diǎn)時(shí)，飛行員對座椅的壓力是自身重量的兩倍，飛至最高點(diǎn)時(shí)，飛行員對座椅無壓力． [點(diǎn)評]豎直面內(nèi)的非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在列動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，要按照牛頓第二定律列方程的步驟進(jìn)行，受力分析是關(guān)鍵，列方程只要在法線方向上用牛頓第二定律．公式F=mV2/R是牛頓第二定律在圓周運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用，向心力就是做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受的合外力的法向分力． C O B A 圖4-3-5 例2．如圖4-3-5所示，半徑為R，內(nèi)徑很小的光滑半圓管豎直放置，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球A、B以不同速率進(jìn)入管內(nèi)，A通過最高點(diǎn)C時(shí)，對管壁上部的壓力為3mg，B通過最高點(diǎn)C時(shí)，對管壁下部的壓力為0．75mg．求A、B兩球落地點(diǎn)間的距離． [解析]兩個(gè)小球在最高點(diǎn)時(shí)，受重力和管壁的作用力，這兩個(gè)力的合力作為向心力，離開軌道后兩球均做平拋運(yùn)動(dòng)，A、B兩球落地點(diǎn)間的距離等于它們平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移之差． 對A球：3mg+mg=m vA= 對B球：mg－0．75mg=m vB= sA=vAt=vA=4R sB=vBt=vB=R（2分）∴sA－sB=3R [點(diǎn)評]豎直面內(nèi)的非勻速圓周運(yùn)動(dòng)往往與其它知識點(diǎn)結(jié)合起來進(jìn)行考查，本題是與平拋運(yùn)動(dòng)相結(jié)合，解這類題時(shí)一定要先分析出物體的運(yùn)動(dòng)模型，將它轉(zhuǎn)化成若干個(gè)比較熟悉的問題，一個(gè)一個(gè)問題求解，從而使難題轉(zhuǎn)化為基本題．本題中還要注意豎直面內(nèi)的非勻速圓周運(yùn)動(dòng)在最高點(diǎn)的兩個(gè)模型：輕桿模型和輕繩模型，它們的區(qū)別在于在最高點(diǎn)時(shí)提供的力有所不同，輕桿可提供拉力和支持力，而輕繩只能提供拉力；本題屬于輕桿模型． 圖4-3-6 O L 例3．一小球質(zhì)量為m，用長為L的懸繩（不可伸長，質(zhì)量不計(jì)）固定于O點(diǎn)，在O點(diǎn)正下方L/2處釘有一顆釘子，如圖4-3-6所示，將懸線沿水平方向拉直無初速釋放后，當(dāng)懸線碰到釘子后的瞬間 A．小球線速度沒有變化 B．小球的角速度突然增大到原來的2倍 C．小球的向心加速度突然增大到原來的2倍 D．懸線對小球的拉力突然增大到原來的2倍 [解析]在小球通過最低點(diǎn)的瞬間，水平方向上不受外力作用，沿切線方向小球的加速度等于零，因而小球的線速度不會(huì)發(fā)生變化，故A正確；在線速度不變的情況下，小球的半徑突然減小到原來的一半，由v=ωr可知角速度增大為原來的2倍，故B正確；由a=v2/r，可知向心加速度突然增大到原來的2倍，故C正確；在最低點(diǎn)，F(xiàn)-mg=ma，可以看出D不正確． [點(diǎn)評]本題中要分析出懸線碰到釘子前后的瞬間物理量的變化情況，問題就很好解了，因而，要根據(jù)題目的條件分析物理過程后再選用公式，不能隨意照套公式． 圖4-3-7 m r O 例4．在質(zhì)量為M的電動(dòng)機(jī)上，裝有質(zhì)量為ｍ的偏心輪，偏心輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，當(dāng)偏心輪重心在轉(zhuǎn)軸正上方時(shí)，電動(dòng)機(jī)對地面的壓力剛好為零；則偏心輪重心離轉(zhuǎn)軸的距離多大?在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，電動(dòng)機(jī)對地面的最大壓力多大? [解析]設(shè)偏心輪的重心距轉(zhuǎn)軸ｒ，偏心輪等效為用一長為ｒ的細(xì)桿固定質(zhì)量為ｍ(輪的質(zhì)量)的質(zhì)點(diǎn)，繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖4-3-7，輪的重心在正上方時(shí)，電動(dòng)機(jī)對地面的壓力剛好為零，則此時(shí)偏心輪對電動(dòng)機(jī)向上的作用力大小等于電動(dòng)機(jī)的重力，即： F=Mｇ ① 根據(jù)牛頓第三定律，此時(shí)軸對偏心輪的作用力向下，大小為F=Mｇ，其向心力為： F+mg=mω2r ② 由①②得偏心輪重心到轉(zhuǎn)軸的距離為： r=(M+m)g/(mω2) ③ 當(dāng)偏心輪的重心轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，電動(dòng)機(jī)對地面的壓力最大． 對偏心輪有：F-mg=mω2r ④ 對電動(dòng)機(jī)，設(shè)它所受支持力為FN，F(xiàn)N=F+Mg ⑤ 由③、④、⑤解得FN=2(M+m)g 由牛頓第三定律得，電動(dòng)機(jī)對地面的最大壓力為2(M+m)g [點(diǎn)評]本題中電動(dòng)機(jī)和偏心輪組成為一個(gè)系統(tǒng)，電動(dòng)機(jī)對地面剛好無壓力，是偏心輪運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，因而把它們隔離開來進(jìn)行研究思路比較清晰；先以電動(dòng)機(jī)為研究對象，再以偏心輪為研究對象，分別列方程，再利用牛頓第二定律把它們聯(lián)系起來即可求解；另外還要找出最高點(diǎn)和最低點(diǎn)這兩個(gè)臨界狀態(tài)． C A B 圖4-3-8 例5．在一根長為L的不計(jì)質(zhì)量的細(xì)桿中點(diǎn)和末端各連一質(zhì)量為m的小球B和C，如圖4-3-8所示，桿可以在豎直平面內(nèi)繞固定點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，將桿拉到某位置放開，末端C球擺到最低位置時(shí)，桿BC受到的拉力剛好等于C球重的2倍．求：（g=10m/s2） （1）C球通過最低點(diǎn)時(shí)的線速度； （2）桿AB段此時(shí)受到的拉力． [解析]（1）C球通過最低點(diǎn)時(shí)，受力如圖且作圓周運(yùn)動(dòng) F向=TBC-mg 即2mg-mg= 得c球通過最低點(diǎn)時(shí)的線速度為：vC= TAB C A B TBC=2mg mg mg 圖4-3-9 （2）以最低點(diǎn)B球?yàn)檠芯繉ο螅? 其受力如圖4-3-9所示，B球圓周運(yùn)動(dòng)的F向=TAB-mg-2mg 即TAB-3mg=，且vB=vC 得桿AB段此時(shí)受到的拉力為：TAB=3．5mg [點(diǎn)評]此題涉及到兩個(gè)物體，按常規(guī)要分別研究各個(gè)物體，分別列出方程，此時(shí)還不能求解，必須還要找到兩個(gè)物體聯(lián)系的量再列一個(gè)方程才能求解，因而，找到兩個(gè)物體物理量間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵；本題中兩球固定在一輕桿上，它們的角速度相同是個(gè)隱含條件． 四、變式遷移 1．一圓柱形飛船的橫截面半徑為r，使這飛船繞中心軸O自轉(zhuǎn)，從而給飛船內(nèi)的物體提供了“人工重力”，如圖4-3-10所示；若飛船繞中心軸O自轉(zhuǎn)的角速度為ω，那么“人工重力”中的“重力加速度g”的值與離開轉(zhuǎn)軸O的距離L的關(guān)系是（其中k為比例系數(shù)） （ ） 圖4-3-10 A． B． g = kL C． D． 2．在用高級瀝青鋪設(shè)的高速公路上，汽車的設(shè)計(jì)時(shí)速是108km/h．汽車在這種路面上行駛時(shí)，它的輪胎與地面的最大靜摩擦力等于車重的0.6倍．如果汽車在這種高速路的水平彎道上拐彎，假設(shè)彎道的路面是水平的，其彎道的最小半徑是多少？如果高速路上設(shè)計(jì)了圓弧拱橋做立交橋，要使汽車能夠安全通過圓弧拱橋，這個(gè)圓弧拱橋的半徑至少是多少？（取g=10m/s2） 五、能力突破 1．質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的圓形軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，若經(jīng)最高點(diǎn)不脫離轉(zhuǎn)道的臨界速度為 v，則當(dāng)小球以2v速度經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)，小球?qū)壍赖膲毫Υ笮椋? ） A．0 B．mg C．3mg D．5mg B A C θ 圖4-3-11 2．如圖4-3-11所示，有一小球質(zhì)量為m，用輕繩AB和BC連接處于靜止?fàn)顟B(tài)，AB沿水平方向，BC與豎直方向成角θ．則在剪斷AB后的瞬間（球未擺動(dòng)），繩BC所受拉力與原來受的拉力的比等于（ ） A．cos2θ B．sin2θ C．1/cos2θ D．1/sin2θ 3．細(xì)桿可繞過一端的光滑水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，桿的另一端系一個(gè)小球，使桿繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，桿對球的作用力設(shè)為F1；小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，桿對球的作用力設(shè)為F2．關(guān)于細(xì)桿對小球的作用力F1和F2，可能是（ ） A．F1＝0 B．F2＝0 C．F1和F2的方向都向上 D．F1和F2的方向都向下 圖4-3-12 R 4．一質(zhì)量為m的物體，沿半徑為R的向下凹的圓形軌道滑行，如圖4-3-12所示，經(jīng)過最低點(diǎn)的速度為v，物體與軌道之間的動(dòng)摩檫因數(shù)為μ，則它在最低點(diǎn)時(shí)受到的摩檫力為（ ） A．μmg B．μmv2/R C．μm(g+v2/R) D．μm(g-v2/R) 5．長為L的細(xì)桿一端拴一小球，可繞另一端在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球在最高點(diǎn)的速度為v，下列說法正確的是（ ） A．v越大，球在最高點(diǎn)受到的合外力越大 B．v越大，球在最高點(diǎn)受到的向心力越大 C．v越大，球在最高點(diǎn)對桿的作用力越大 D．v至少要大小 圖4-3-13 6．如圖4-3-13所示，將完全相同的兩小球A，B用長L=0．8m的細(xì)繩，懸于以v=4m/s向左勻速運(yùn)動(dòng)的小車頂部，兩球的小車前后壁接觸．由于某種原因，小車突然停止，此時(shí)懸線中張力之比TA：TB為（g=10m/s2）（ ） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 7．一小球用輕繩懸掛在某固定點(diǎn)．現(xiàn)將輕繩水平拉直，然后由靜止開始釋放小球．考慮小球由靜止開始運(yùn)動(dòng)到最低位置的過程．( ) A．小球在水平方向的速度逐漸增大 B．小球在豎直方向的速度逐漸增大 C．到達(dá)最低位置時(shí)小球線速度最大 D．到達(dá)最低位置時(shí)繩中的拉力等于小球重力 8．如圖4-3-14所示， 在內(nèi)壁光滑的平底試管內(nèi)放一個(gè)質(zhì)量為1g的小球， 試管的開口端加蓋與水平軸O連接． 試管底與O相距5cm， 試管在轉(zhuǎn)軸帶動(dòng)下沿豎直平面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)． 求： (1) 轉(zhuǎn)軸的角速度達(dá)到多大時(shí)， 試管底所受壓力的最大值等于最小值的3倍． (2) 轉(zhuǎn)軸的角速度滿足什么條件時(shí)，會(huì)出現(xiàn)小球與試管底脫離接觸的情況? g取10m/s2． 圖4-3-14 圖4-3-15 9．如圖4-3-15所示，一根跨越一固定的水平光滑細(xì)桿的輕繩，兩端各系一個(gè)小球．球a置于地面，球b被拉到與細(xì)桿同一水平的位置．在繩剛拉直時(shí)放手，使球b從靜止?fàn)顟B(tài)向下擺動(dòng)．當(dāng)擺到Ob段輕繩與豎直方向的夾角為600時(shí)，球a剛要離地，求球a質(zhì)量與球b質(zhì)量之比．(已知圖中Ob段的長度小于Oa段的長度) 10．如圖4-3-16所示，在傾角為α=300的光滑斜面上，有一根長為L=0.8m的細(xì)繩，一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m=0.2kg的小球，沿斜面作圓周運(yùn)動(dòng)，試計(jì)算： （1）小球通過最高點(diǎn)A的最小速度． （2）若細(xì)繩的抗拉力為Fmax=10N，小球在最低點(diǎn)B的最大速度是多少？ A L O B α 圖4-3-16