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第3章 幾何光學(xué)的基本原理 3.1幾何光學(xué)基本實驗定律 一、教學(xué)目的 1、回顧幾何光學(xué)三個實驗定律。 2、熟練利用三定律解決光的直線傳播、反射、折射問題。 二、學(xué)時分配：0.5學(xué)時 三、教學(xué)重點：幾何光學(xué)三個實驗定律 四、教學(xué)難點：無 五、教學(xué)方法與手段：講授，多媒體演示相結(jié)合。 六、教學(xué)思路 1、課程引入 “隔墻有耳”這個成語告訴我們，不要隨便說別人的壞話，小心被墻那邊的人偷偷聽去。為什么屋里說話，屋外的人可以聽到呢？原因是因為聲波的波長長（波長=波速/頻率波速一般是340米/秒；人耳聽到的聲音的頻率是20HZ--20KHZ所以得出人耳聽到的聲音的波長：0.017--17米），很容易繞過障礙物繼續(xù)向前傳播，也就是說容易發(fā)生衍射。發(fā)生衍射是有條件的？波長和障礙物差不多或比波長小。相應(yīng)的，對光波而言，可見光的波長是380～760nm，這個量級和門縫相比太小了，所以不會發(fā)生衍射，只能沿著直線傳播了，所以說，在大部分情況下，我們都會覺得光是沿直線傳播的，只有在遇到埃量級的障礙物時，才會像聲音那樣發(fā)生衍射。那么，從今天開始，我們重點來研究這大部分情況，光沿直線傳播的情況。以光的直線傳播為基礎(chǔ)，用幾何方法來近似描述光的傳播行為的學(xué)科，叫幾何光學(xué)。 2、幾何光學(xué)基本實驗定律 幾何光學(xué)是在以下三個實驗定律為基礎(chǔ)建立起來的。 （1）光的直線傳播定律； 幻燈演示： 隔墻有耳 聲音（0.017--17米）容易發(fā)生衍射 衍射條件：波長和障礙物差不多或比波長小。 光（可見光380～760nm）不易發(fā)生衍射，常表現(xiàn)為沿直線傳播。 第3章 幾何光學(xué)的基本原理 3.1幾何光學(xué)基本實驗定律 （2）光的反射定律和折射定律； （3）光的獨立傳播定律和光路可逆原理。 以下我們來分別給大家介紹這三條實驗定律： （1）光的直線傳播定律：光在均勻介質(zhì)中沿直線傳播 應(yīng)當(dāng)注意，光只有在均勻介質(zhì)中沿直線傳播，如果是非均勻介質(zhì)中光線將因折射而發(fā)生彎曲。例如海市蜃樓的形成。 從哪些實驗現(xiàn)象上可以看出光沿直線傳播？影子的形成、小孔成像。 （2）光的反射定律和折射定律 設(shè)介質(zhì)1、2都是透明、均勻和各向同性的，且它們的分界面是平面。當(dāng)一束光線由介質(zhì)1射到分界面上時，在一般情形下它將分解為兩束光線：反射線和折射線。入射線與分界面的法線構(gòu)成的平面稱為入射面。分界面法線與入射線、反射線和折射線所成的夾角分別為入射角、反射角和折射角。由實驗，得到反射定律：①反射線在入射線和法線決定的平面內(nèi)； ②反射線、入射線分居法線兩側(cè)； ③ 和折射定律：①折射線在入射線和法線決定的平面內(nèi)； ②折射線、入射線分居法線兩側(cè)； ③ 注意：（1）：任何介質(zhì)相對于真空的折射率，稱為該種介質(zhì)的絕對折射率，簡稱折射率。 （2）折射率較大的介質(zhì)稱為光密介質(zhì)，折射率較小的介質(zhì)稱為光疏介質(zhì)。例如，光由空氣射入水，那水就是光密介質(zhì)，而空氣是光疏介質(zhì)；光由玻璃射入水，那水就是光疏介質(zhì)，而玻璃是光密介質(zhì)。由折射定律可以看到入射角和折射角的正弦比是反比于介質(zhì)折射率的，那么我們就知道，當(dāng)光從空氣射入水（光由光疏介質(zhì)射入光密介質(zhì)）那么折射角小于入射角；光由光疏介質(zhì)射入光密光密介質(zhì)，折射角大于入射角。 （1）光的直線傳播定律； （2）光的反射定律和折射定律； （3）光的獨立傳播定律和光路可逆原理。 （1）光的直線傳播定律：光在均勻介質(zhì)中沿直線傳播 舉例：影子的形成、小孔成像 （2）光的反射定律和折射定律 反射定律：①反射線在入射線和法線決定的平面內(nèi)； ②反射線、入射線分居法線兩側(cè)； ③ 折射定律：①折射線在入射線和法線決定的平面內(nèi)； ②折射線、入射線分居法線兩側(cè)； ③ （3）作為實驗規(guī)律，幾何光學(xué)三定律是近似的，它只有在空間障礙物以及反射和折射界面的尺寸遠(yuǎn)大于光的波長時成立。盡管如此，在很多情況下用它們來設(shè)計光學(xué)儀器，還是足夠精細(xì)的。（3）光的獨立傳播定律和光路可逆原理 光的獨立傳播定律：自不同方向或不同物體發(fā)出的光線相交時，對每一光線的傳播不發(fā)生影響。即各自保持自己原有的特性，沿原方向繼續(xù)傳播，互不影響。屋子里有很多盞燈，每一盞燈的光并不會因為另外燈的存在而受到影響。 光的可逆性原理：當(dāng)光線的方向反轉(zhuǎn)時，它將逆著同一路徑傳播，稱為光的可逆性原理。從幾何光學(xué)的基本定律不難看出，如果光線逆著反射線方向入射，則這時的反射線逆著原來的入射線方向傳播；如果光線逆著折射線方向由介質(zhì)2入射，則射入介質(zhì)1的折射線也將逆著原來的入射線方向傳播。 3.2費馬原理 一、教學(xué)目的 1、掌握光程的概念、費馬原理的表達(dá)。 2、會利用費馬原理證明光的直線傳播、反射、折射定律。 二、學(xué)時分配：1學(xué)時 三、教學(xué)重點：費馬原理 四、教學(xué)難點：費馬原理的應(yīng)用 五、教學(xué)方法與手段：講授，多媒體演示相結(jié)合。 六、教學(xué)思路 1、課程引入 光在均勻介質(zhì)中總是沿直線傳播的，光在非均勻介質(zhì)中又是怎樣傳播的？費馬借助光程的概念，回答了該問題。 2、光程的定義 （3）光的獨立傳播定律：自不同方向或不同物體發(fā)出的光線相交時，對每一光線的傳播不發(fā)生影響。即各自保持自己原有的特性，沿原方向繼續(xù)傳播，互不影響。 光的可逆性原理:當(dāng)光線的方向反轉(zhuǎn)時，它將逆著同一路徑傳播，稱為光的可逆性原理。 3.2費馬原理 1、光程 折射率和路程的乘積叫做光程。 光在均勻介質(zhì)中光程： 在m種不同的媒質(zhì)中有 在折射率連續(xù)變化的媒質(zhì)中： 3、費馬原理 費馬原理的表述是：AB兩點間光線的實際路徑是光程為平穩(wěn)的路徑。也就是說實際光線沿光程為最小值、最大值或恒定值的路程傳播。 在一般情況下，實際光程大多是取極小值。 意義：費馬原理是幾何光學(xué)的基本原理，用以描繪光在空間兩定點間的傳播規(guī)律。 用途：①由費馬原理可以推導(dǎo)出幾何光學(xué)的全部基本 實驗定律，可以確定光線的傳播方向、路徑 ② 推求理想成象公式。 4、費馬原理的證明 （1）光的直線傳播定律：（在均勻介質(zhì)中） 光在均勻介質(zhì)中的任意兩點A、B之間傳播，會走怎樣的路徑呢？根據(jù)費馬原理，A、B兩點間光線的實際路徑，是光程為極小值的路徑，n是常數(shù)，所以只要保證l為最小便可。由公理，兩點之間直線距離最短，得到光在AB之間沿直線傳播，故，光在均勻介質(zhì)中沿直線傳播。 （2）折射定律：（在非均勻介質(zhì)中） 如圖示：Q點發(fā)出的光線入射到兩種介質(zhì)的平面分界面上，折射后到達(dá)P點。 證明：（1）作圖：作，，因為，故兩線共面，給這個平面起個名字。（2）從經(jīng)折射面上 折射率和路程的乘積叫做光程。 光在均勻介質(zhì)中光程： 在m種不同的媒質(zhì)中有 在折射率連續(xù)變化的媒質(zhì)中： 2、費馬原理 AB兩點間光線的實際路徑是光程為平穩(wěn)的路徑。光沿光程為最小值、最大值或恒定值的路程傳播。 4、費馬原理的證明 （1）光的直線傳播定律：（在均勻介質(zhì)中） （2）折射定律：（在非均勻介質(zhì)中） 任一點到的光線。由作垂足聯(lián)線的垂線，不難看出，，，即光線在平面上的投影比本身光程更短。可見光程最短的路徑應(yīng)在平面內(nèi)，也就是說入射光和折射光在同一平面內(nèi)。（3）在平面內(nèi)找折射點。令，，，，，，。根據(jù)光程的概念 求極小值 由光程取極小值條件 得到 作業(yè)：用費馬原理證明反射定律（也就是考察由A點出發(fā)經(jīng)反射面到達(dá)B點的光線將走怎樣的路徑？） 證明：相對于反射平面取B的對稱點，假設(shè)一條路徑，根據(jù)對稱，從A到B任一可能路徑的長度和相等。我們就把求的問題轉(zhuǎn)化為求。顯然，所有連接的直線中，最短，從而路徑的長度最短。根據(jù)費馬原理，是光線的實際路徑。過C作界面法線，根據(jù)平行得到反射角等于入射角。 （3）光程取極大值和恒定值的情況 作業(yè) （3）光程取極大值和恒定值的情況 有一塊鏡面M，它是旋轉(zhuǎn)橢球面的一部分，、是兩個焦點，考察由點發(fā)出的光經(jīng)鏡面M反射到達(dá)所走的路徑。 單從幾何角度講，旋轉(zhuǎn)橢球面有性質(zhì)：（A是橢球面上任意一點）。把這個結(jié)論應(yīng)用到光學(xué)中，由發(fā)出任一光線經(jīng)鏡面反射到的光程都相等，都等于這個常數(shù)值。從另一個角度，從發(fā)出的所有方向的光線最終都會會聚到點。 3.3 單心光束 實像和虛像 一、教學(xué)目的 1、掌握和成像相關(guān)的概念。 2、理解物像等光程性。 二、學(xué)時分配：0.5學(xué)時 三、教學(xué)重點：成像概念 四、教學(xué)難點：無 五、教學(xué)方法與手段：講授，多媒體演示相結(jié)合。 六、教學(xué)思路 1、課程引入 成像問題是幾何光學(xué)研究的主要問題之一。為學(xué)習(xí)研究成像規(guī)律，首先介紹幾個基本概念。 2、單心光束、實像與虛像、實物與虛物 （1）單心光束：各光線本身或其延長線交于同一點的光束（凡 3.3 單心光束 實像和虛像 1、單心光束、實像與虛像、實物與虛物 是具有單個頂點的光束）叫單心光束。例如從一點光源發(fā)出的光束就是單心光束。 （2）光具組：由若干反射面或折射面組成的光學(xué)系統(tǒng)，叫做光具組。例如平面鏡（一個反射平面）、透鏡（兩個折射球面）、照相機鏡頭、望遠(yuǎn)鏡等復(fù)雜的光學(xué)儀器都是光具組。以下為了簡便起見，我們用大括號來代表各種光具組。 （3）物點、像點：入射到光具組的單心光束的頂點（P）為物點； 經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)出射后又匯聚的單心光束的頂點（P）為像點。 （4）實物、虛物、實像、虛像：發(fā)散的入射單心光束的頂點（P）為實物；會聚的入射單心光束的頂點（P）為虛物；會聚的出射單心光束的頂點（P）為實像；發(fā)散的出射單心光束的頂點（P）為虛像。參見光學(xué)成像系統(tǒng)的舉例，判斷實虛物、實虛像。 （5）實物、實像、虛像的聯(lián)系與區(qū)別：不管是物還是像最終我們都是需要用來觀察的，所以，我們從觀察的角度來看它們的聯(lián)系和區(qū)別。一方面，我們用眼睛直接觀察；另一方面，我們用白屏來觀察，看一看它們有怎樣的區(qū)別。 聯(lián)系：1、人的眼睛，也包括照相膠片、光電探測器，都只能感知光的強度，而光強度包含于光束之中，所以只有進(jìn)入人眼的光束才能引起視覺。成像于視網(wǎng)膜上的只是光束的頂點而非光束本身。光通過渾濁的空間時，塵埃微粒作為散射光束的頂點被看到，而不是看到了光束本身；宇航員看到的潔凈的宇宙空間是漆黑的，由于沒有塵埃作為散射源。 2、人眼以剛進(jìn)入瞳孔前的光線方向判斷光束頂點位置。所以，眼睛在觀察一個發(fā)光點時，是根據(jù)進(jìn)入眼睛的那部分光線的最后方向和發(fā)散程度來判斷它們發(fā)光中心位置的。所以當(dāng)一束成虛像的發(fā)散光束射入眼睛后，我們的感覺是在它們延長線的交點處有一個真的發(fā)光點。單獨用人眼無法直接判斷頂點是否有實際光線通過。對人眼而言，無論是物點還是像點，是實像還是虛像，都不過是發(fā)散光束的頂點，二者之間沒有區(qū)別。 （1）單心光束： （2）光具組： （3）物點、像點： （4）實物、虛物、實像、虛像： （5）實物、實像、虛像的聯(lián)系與區(qū)別： 區(qū)別：（1）物點與像點的區(qū)別：物點是發(fā)散光束的頂點，從任何角度觀察都會有光進(jìn)入人的眼睛，所以各處可見；而像點由于透鏡大小的限制，僅在光束范圍內(nèi)可見。 （2）實像與虛像的區(qū)別：實像既可用眼睛觀察，也可用屏幕接收，這是因為實像是實際光束的會聚點。虛像能夠被人看到或被屏幕接收嗎？由于虛像所在處根本沒有光線通過，所以不能用白屏接收。 3.4 光在平面介面上的反射和折射 光學(xué)纖維 一、教學(xué)目的 1、掌握光在平面界面上的反射和折射規(guī)律； 2、掌握利用像似深度進(jìn)行折射的計算； 3、掌握全反射角的計算、理解光學(xué)纖維的工作原理； 4、掌握棱鏡的相關(guān)計算。 二、學(xué)時分配：1學(xué)時 三、教學(xué)重點：光在平面界面上的反射和折射規(guī)律 四、教學(xué)難點：利用像似深度進(jìn)行折射的計算 五、教學(xué)方法與手段：講授，多媒體演示相結(jié)合。 六、教學(xué)思路 1、課程引入 保持物、像在幾何形狀上的相似性，是理想成像的基本要求。保持光束的單心性是保持形狀相似從而實現(xiàn)理想成像的保證。所以，研究成像問題就歸結(jié)為研究如何保持光束單心性問題。一般情況下，光在介面上反射和折射后，其單心性不再保持。但只要滿足適當(dāng)?shù)臈l件，可以近似地得到保持。接下來的兩節(jié)，主要研究在不同介面反射、折射時，光束單心性的保持情況。 2、光在平面上的反射 3.4 光在平面介面上的反射和折射 光學(xué)纖維 1、光在平面上的反射 點光源P發(fā)出單心光束，經(jīng)平面鏡反射后，形成一束發(fā)散光束，其反向延長線交于一點，且與P點對稱。顯然，反射光束仍為單心光束，說明在此過程中光束保持了其單心性，是一個理想成像過程——是P的虛像。所以，平面鏡是一個不破壞光束單心性、理想成像的完善的光學(xué)系統(tǒng)。 3、光在平面上的折射 光線在折射率不同的兩個透明物質(zhì)的平面分界面上反射時，單心光束仍保持為單心光束；但折射時，除平行光束折射后仍為平行光束外，單心光束將被破壞。這里，我們不做復(fù)雜的證明，僅以一個簡單的例子給大家做分析。 例1：在水中深度為處有一發(fā)光點，作垂直于水面，求射出水面折射線的延長線與交點（像點）的深度與入射角的關(guān)系。 解：設(shè)水相對于空氣的折射率為n，則根據(jù)折射定律，有 如圖，有 由上式可見，由Q發(fā)出的不同方向的單心光束，折射后的延長線不再交于同一點，即不再是單心光束。所以，折射后，光束的單心性已被破壞。但對于哪些接近法線方向的光線（即入射角近似為零），若忽略高階小量，得到 ，稱為像似深度。 下面，我們來利用像似深度作一個習(xí)題，熟悉像似深度的應(yīng)用。 例2：使一束向P點會聚的光在到達(dá)P點之前通過一平行玻璃板，如果將玻璃板垂直于光束的軸放置，問會聚點將朝哪個方向移 平面鏡是一個不破壞光束單心性、理想成像的完善的光學(xué)系統(tǒng)。 3、光在平面上的折射 例題 像似深度 例2： 動？移動多少？ 解：第一次折射，根據(jù)像似深度公式 第二次折射 會聚點移動： 4、全反射 光學(xué)纖維 1.全反射當(dāng)光線從光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)時，由折射定律可以看出，折射角大于入射角。當(dāng)入射角增大至某一數(shù)值時，折射角。當(dāng)時，折射線消失，光線全部反射，這種現(xiàn)象稱為全反射，稱為全反射臨界角。 全反射的應(yīng)用很廣，以下給大家介紹幾種全反射的應(yīng)用。 2.光學(xué)纖維 在目前的通信網(wǎng)絡(luò)中，用于傳輸光信號的光學(xué)纖維就是利用全反射規(guī)律而使光線沿著彎曲路程傳播的光學(xué)元件。一般使用的光學(xué)纖維是由直徑約幾微米的多根或單根玻璃纖維組成的。每根纖維分內(nèi)外兩層，內(nèi)層材料的折射率較大，外層材料的折射率較小。這樣當(dāng)光由內(nèi)層射到兩層介質(zhì)的分界面時，入射角小于臨界角的那些光線，根據(jù)折射定律將逸出光纖，光信號逐漸損耗至消失；而入射角大于臨界角的光線，由于全反射在兩層界面上經(jīng)歷多次反射后到達(dá)另一端，完成光信號的傳輸。光纖中的光信號是由激光器產(chǎn)生，通過一個耦合器耦合進(jìn)光纖的。由于激光由空氣進(jìn)入玻璃光纖端面的時候會發(fā)生折射，按照我們剛剛的介紹，折射后要滿足全反射的條件，所以，并不是所有的入射光線都可以在光纖中傳輸。我們從理論上推導(dǎo)一下這條臨界光線所對應(yīng)的入射角。 我們以這條粉色的光線當(dāng)作臨界光線，它在兩層界面上的入 3、全反射 光學(xué)纖維 全反射 全反射臨界角 2.光學(xué)纖維 射角等于臨界角。顯然，由折射率為的介質(zhì)經(jīng)端面進(jìn)入纖維而且入射角大于的那些光線，在、界面上的入射角就小于，這些光線都不能通過纖維。只有在介質(zhì)中頂角等于的空間錐體內(nèi)的全部光線才能在纖維中傳播，根據(jù)臨界角公式 ，和折射定律：，可得 對于空氣中的纖維，于是 5、棱鏡 棱鏡是由透明介質(zhì)（玻璃）做成的棱柱體，截面呈三角形的棱柱叫做三棱鏡。與棱邊垂直的平面叫做棱鏡的主截面。光通過棱鏡時，產(chǎn)生兩個或兩個以上界面的連續(xù)折射，傳播方向發(fā)生偏折。下面我們討論光線在三棱鏡主截面內(nèi)折射的情況。 A B C E F H G 三角形ABC是三棱鏡的主截面，沿主截面入射的光線DE在界面AB上的E點發(fā)生第一次折射，，光線偏向底邊BC。進(jìn)入棱鏡的光線EF在界面AC上的F點發(fā)生第二次折射，，出射光線進(jìn)一步偏向底邊 5、棱鏡 由透明介質(zhì)（玻璃）做成的棱柱體。截面呈三角形的棱柱叫做三棱鏡。與棱邊垂直的平面叫做棱鏡的主截面。三棱鏡兩折射面的夾角稱三棱鏡頂角A。 BC。光線經(jīng)兩次折射，傳播方向總的變化可用入射線DE和出射 線FG的夾角來表示，叫做偏向角。我們下邊重點討論偏向角和、、、和頂角A之間的關(guān)系： 因為 所以 上式表明，對于給定的棱角A，偏向角隨入射光線方向的變化而變化。由實驗得知，在隨的改變中，對于某一的值，偏向角達(dá)到最小，稱為最小偏向角。得到產(chǎn)生最小偏向角的充要條件是或，此時，最小偏向角可表示為，返推入射角可表示為，又因為折射角，利用折射定律，可計算處棱鏡材料的折射率 在棱鏡頂角A已知的條件下，通過測量最小偏向角，便可算出棱鏡的折射率。棱鏡主要應(yīng)用于分光，即利用棱鏡對不同波長光的折射率不同的性質(zhì)。當(dāng)一束白光入射時，不同波長的光具有不同的偏向角，從而出射線的方向不同。通常棱鏡的折射率是隨波長的減小而增加的，所以可見光中紫光偏折最大，紅光偏折最小。另外，利用全反射棱鏡可以改變光線方向。三角形ABC為等腰直角三角形棱鏡的主截面。當(dāng)光線垂直入射到AB面上，按原方向進(jìn)入棱鏡，射到AC面上，此時入射角等于45度，比玻璃到空氣的臨界角大，因而產(chǎn)生全反射。由于反射角也是45度，光線就偏折了90度，沿垂直于BC面的方向射出棱鏡。因為是垂直入射，反射損失很小。因此在光學(xué)儀器中經(jīng)常用它作為把光線轉(zhuǎn) 出射光與入射光之間的夾角稱棱鏡的偏向角q。 最小偏向角 應(yīng)用 棱鏡光譜：當(dāng)用白光入射時，由于折射率的不同，出射光將展開成彩帶即光譜。所以，三棱鏡也是一種分光裝置。 改變光路 向90度的光學(xué)元件。 3.5 光在球面上的反射和折射 一、教學(xué)目的 1、掌握球面反射和折射的符號法則； 2、掌握球面反射和折射的物像公式； 二、學(xué)時分配：2學(xué)時 三、教學(xué)重點：球面反射和折射的物像公式的應(yīng)用 四、教學(xué)難點：根據(jù)光路圖列出物像公式 五、教學(xué)方法與手段：講授，多媒體演示相結(jié)合。 六、教學(xué)思路 1、課程引入 上一次課我們學(xué)習(xí)了光在平面界面上的反射和折射，今天繼續(xù)來學(xué)習(xí)光在球面界面上的反射和折射，也就是球面鏡反射和球面鏡折射。 2、符號規(guī)則 A O B P A A A A A A A A A A C 為了研究光線經(jīng)由球面鏡反射和折射后的光路，先來介紹一套已規(guī)定的符號法則——新笛卡爾法則。我們以一個反射球面為例，AOB表示球面的一部分，這部分球面的中心點O稱為頂點，球面的球心C稱為曲率中心，球面的半徑稱為曲率半徑，連接頂點和曲率中心的直線CO稱為主軸，通過主軸的任一平面稱為主截面。所有主截面相對于主軸對稱，那么我們只要討論其中任一個主截面內(nèi)光線的反射情況就可以知道其他情況了，在這個主截面內(nèi)我們要對其中光線的線段長度和角度的符號作一些規(guī)定： 3.5 光在球面上的反射和折射 1、球面的幾個概念 符號法則 1、基本概念： 球面頂點：O 球面曲率中心：C 球面曲率半徑：r 球面主軸：連接O、C而得的直線。 主截面：通過主軸的平面。 2、符號法則：為使計算結(jié)果普遍適用， （1）線段長度值：線段長度都從頂點算起，凡光線和主軸的交 點在頂點右方的，線段長度的數(shù)值為正；凡光線和主軸的交點在頂點左方的，線段長度的數(shù)值為負(fù)。物點或像點至主軸的距離，在主軸上方為正，在下方為負(fù)。 （2）光線角度值：光線方向的傾斜角都從主軸（或球面法線、半徑）算起，并取小于90度的銳角。由主軸（或球面法線）轉(zhuǎn)向有關(guān)光線時，若沿順時針方向轉(zhuǎn)，則該角度為正；若沿逆時針方向轉(zhuǎn)，則該角度為負(fù)。 （3）圖上出現(xiàn)的長度和角度只能用正值（幾何量）。例如s表示的某線段的值是負(fù)的，則應(yīng)用-s來表示該線段的幾何長度。 3、球面鏡反射 以下的討論假設(shè)光線從左至右進(jìn)行。從點光源P發(fā)出的光從左向右入射到曲率中心為C，頂點為O，曲率半徑為r的一個凹球面鏡上，光線PA經(jīng)球面鏡AOB反射后，在點與主軸相交，令，，，， 在和中利用余弦定理得到： 其中 同理， 其中 光程 從上式可知，對給定的物點，不同的入射點，對應(yīng)著不同的入射線和反射線，對應(yīng)著不同的。 對線段和角度正負(fù) 取法的規(guī)定。 ① 線段長度： A、凡光線與主軸交點在頂點右方者線段長度數(shù)值為正； 凡光線與主軸交點在頂點左方者線段長度數(shù)值為負(fù)； B、物點或像點至主軸的距離在主軸上方為正，下方為負(fù)。 ② 光線的傾角均從主軸或球面法線或半徑算起，并取小于90度的角度；由主軸（或法線）轉(zhuǎn)向有關(guān)光線時： A、順時針轉(zhuǎn)動，角度為正；B、逆時針轉(zhuǎn)動，角度為負(fù)。（注意：角度的正負(fù)與構(gòu)成它的線段的正負(fù)無關(guān)） ③ 圖中出現(xiàn)的長度和角度只用正值。 無論光線從左至右還是從右至左，無論是球面反射還是折射，以上符號法則均適用。 3、球面鏡反射 令，，，， 在和中利用余弦定理得到： 根據(jù)費馬原理，物像之間的光程應(yīng)該取穩(wěn)定值，即 由 得到變形為 對一定的球面和發(fā)光點P（S一定），不同的入射點對應(yīng)有不同的S‘。即：同一個物點所發(fā)出的不同光線經(jīng)球面反射后不再交于一點。 4、近軸光線下球面反射的物像公式 1、近軸光線條件, 得到 所以，對一定的反射球面（r一定），和一一對應(yīng)，而與入射點無關(guān)。由P點所發(fā)出的單心光束，經(jīng)球面反射后將交于一點，光束的單心性得以保持。一個物點將有一個確定像點與之對應(yīng)。光學(xué)上稱：很小的區(qū)域為近軸（或傍軸）區(qū)域，此區(qū)域內(nèi)的光線為近軸光線。在近軸光線條件下：像點稱為高斯像點。 C O P` -s` -r -s A F’ 稱為物距，稱為像距。 2、物像公式 焦點：沿主軸方向的平行光束 經(jīng)球面反射后將會聚于主軸上 一點，該點稱為反射球面的焦點(F’)。 其中 同理， 根據(jù)費馬原理 由P點所發(fā)出的單心光束經(jīng)球面反射后，單心性被破壞. 3、近軸光線下球面反射的物像公式 1、近軸光線條件, ∴ 由P點所發(fā)出的單心光束，經(jīng)球面反射后將交于一點P‘，光束的單心 性得以保持。一個物點將有一個確定像點與之對應(yīng)。 2、物像公式 焦距：焦點到球面頂點的距離（）。它同樣遵守符號法則。 說明：1、它是球面反射成像的基本公式，只在近軸條件下成立； 2、式中各量必須嚴(yán)格遵從符號法則； 3、對凸球面反射同樣適用； 4、當(dāng)光線從右至左時同樣適用。 3、球面鏡成像的作圖法 依據(jù)的作圖法，平行光入射，反射后過焦點，根據(jù)光路可逆，過焦點的光線，反射后成平行光，如圖。得到結(jié)論，當(dāng)光線從左至右時， 成實像； 成虛像。 P173[例3-3]一個點狀物放在凹面鏡前0.05m處，凹面鏡的 曲率半徑為0.20m，試確定像的位置和性質(zhì)。 [解]：設(shè)光線從左至右 最后像是處于鏡后0.1米處的虛像。 當(dāng)光線從右至左時，可得到相同結(jié)論，說明符號法則均適用。 作業(yè)：P222 6、7、8 5、球面折射對光束單心性的破壞 AOB是折射率分別為和的兩種介質(zhì)的球面界面，為球面的半徑，C為球心，O為球面頂點，OC的延長線為球面的主軸，設(shè)，光線從P點出發(fā)，經(jīng)球面A點折射后與主軸相較于點，令，，，， 焦距：焦點到球面頂點的距離（）。它同樣遵守符號法則。 說明：1、它是球面反射成像的基本公式，只在近軸條件下成立； 2、式中各量必須嚴(yán)格遵從符號法則； 3、對凸球面反射同樣適用； 4、當(dāng)光線從右至左時同樣適用。 3、球面鏡成像的作圖法 當(dāng)光線從左至右時， 成實像； 成虛像。 例題 4、球面折射對光束單心性的破壞 從主軸上P點發(fā)出單心光束，其中一條光線在球面上A點折射，折射光與主軸交于P`點。即P`為P的像。 令 當(dāng)A點在球面上移動時，是位置的變量。 由此可見，也和的大小有關(guān)，從物點P發(fā)出的單心光束經(jīng)球面鏡折射后，單心性被破壞。 6、近軸光線下球面折射的物像公式 在近軸光線條件下， 討論： ①當(dāng)介質(zhì)和球面一定時（、、一定），與一一對應(yīng)，即：在近軸光線條件下光束單心性得到保持。 ②當(dāng)介質(zhì)和球面一定時（、、一定）， （注意計算光焦度時長度單位取米，） ③物像公式對凹球面折射同樣適用。 ④物像共軛：為P的像點，反之，當(dāng)物點為時，像點必在P點；這種物像可易性稱為物像共軛。它是光路可逆原理的必然結(jié)果。其中：P、稱為共軛點，光線PA、稱為共軛光線。 對一定的球面和發(fā)光點P（S一定），不同的入射點對應(yīng)有不同的S‘。即：同一個物點所發(fā)出的不同光線經(jīng)球面折射后不再交于一點。 由P點所發(fā)出的單心光束經(jīng)球面折射后，單心性被破壞 5、下球面近軸光線折射的物像公式 討論：①當(dāng)介質(zhì)和球面一定時（、、一定），與一一對應(yīng)，即：在近軸光線條件下光束單心性得到保持。 ②當(dāng)介質(zhì)和球面一定時（、、一定）， （注意計算光焦度時長度單位取米，） ③物像公式對凹球面折射同樣適用。 ④物像共軛：為P的像點，反之，當(dāng)物 ⑤物空間與像空間：規(guī)定：入射線在其中行進(jìn)的空間——物空間； 折射線（或反射線）在其中行進(jìn)的空間——像空間。 ⑥焦點、焦距：A、像方焦點、像方焦距 B、物方焦點F、物方焦距 C、 ∵ “—”號表示永遠(yuǎn)異號，物、像方焦點一定位于球面兩側(cè)。 ⑦球面反射從數(shù)學(xué)處理上可視為球面折射的特例 ∵　在球面反射中，物像空間重合，且入射光線與反射光線行進(jìn)方向相反∴　在數(shù)學(xué)處理方法上，可假設(shè)： 6、理想成象的兩個普適公式 1、高斯公式： 2、牛頓公式： 在確定物點P和像點的位置時，物距和像距可以不從球面頂點算起，而從物方和像方焦點算起 點為時，像點必在P點；這種物像可易性稱為物像共軛。它是光路可逆原理的必然結(jié)果。其中：P、稱為共軛點，光線PA、稱為共軛光線。 ⑤物空間與像空間： ⑥焦點、焦距： ⑦球面反射從數(shù)學(xué)處理上可視為球面折射的特例 6、理想成象的兩個普適公式 1、高斯公式： 2、牛頓公式： 3、說明： ①在球面折射中， ② 高斯公式、牛頓公式是近軸條件下理想成像的普適公式。只是在不同 情況下，焦距的形式不同而已。 如球面反射 7、傍軸物點成像與橫向放大率 在單個球面折射的光路圖中，設(shè)想將整個光路圖繞球心C轉(zhuǎn)一個很小的角度，和將分別轉(zhuǎn)到和點。由于球?qū)ΨQ性，和必然也是一對共軛點，這就證明了傍軸物點成像。曲線和分別是以C為中心的兩個球面上的弧線，因很小，它們都可近似地看作是光軸的垂線，而那兩個球面也可看作是垂直于光軸的小平面。在上述推論中，小角度是任意的，故上述結(jié)論對兩平面上的其它點也都適用。 令共軛點，到光軸的距離分別為，，軸外共軛點的傍軸條件為。若（或）在光軸之上，(或)；反之小于零。 引入橫向放大率的概念V，其定義為 表示放大，表示縮小。此外，按照正負(fù)號法則，表示像是正立的，表示像是倒立的。 為了推導(dǎo)橫向放大率的計算公式，在圖中作入射線，折射后必通過點，且和，分別為入射角和折射角。在傍軸近似下。因， 3、說明： 7、傍軸物點成像與橫向放大率 橫向放大率的定義為 在傍軸近似下。因， 反射球面的橫向放大率公式為 于是得到折射球面的橫向放大率公式為 用類似的方法可以證明，反射球面的橫向放大率公式為